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V)上的所有PL度量的离散共形等价类组成的空间万博体育app

时间:2019-11-05来源:未知作者:admin点击:
任何带度量的曲面都可以共形地改变度量,使得曲率为常数:亏格为0的曲面变成球面度量,拓扑环面变成平直度量,高亏格曲面的度量变成双曲度量。 如上图所示,单值化定理可以推

  任何带度量的曲面都可以共形地改变度量,使得曲率为常数:亏格为0的曲面变成球面度量,拓扑环面变成平直度量,高亏格曲面的度量变成双曲度量。

  如上图所示,单值化定理可以推广到带边曲面:如果曲面带有边界,那么度量变成标准度量(球面,平面或双曲度量),边界也会变成标准度量下的圆。

  经典曲面单值化定理可以用哈密尔顿(Hamilton)的Ricci流方法加以证明,其核心思想是将黎曼度量张量形变,使得曲率随时间演化,其演化遵从非线性热扩散规律,最好收敛到常数,

  近些年来,计算机技术飞速发展。在实际算法中,绝大多数光滑曲面都被多面体曲面(离散曲面)所逼近。经典的理论应该被推广到离散情形。能否将经典单值化定理推广到离散情形,这一问题具有根本的重要性。最近,几名中国数学家成功地建立了离散曲面单值化的理论,并且基于这一理论发展了一系列的算法,应用到医学和工程领域。

  给定 $(S,V)$ 的一个PL度量,三角剖分T被称为是Delaunay的,如果对于任意一条边 $e\in T$ ,其相对的两个角之和不大于 $\pi$ ,如图所示 $a+a\le \pi$ 。每一个PL度量,必然具有一个Delaunay三角剖分。如果初始三角剖分不是Delaunay,我们可以经过有限步对角线对换(Diagonal Switch)将三角剖分变换为Delaunay。

  如果我们令 $K^*=2\pi\chi(S)/V$ ,那么我们得到一个PL度量 $d^*$ ,它诱导了常值离散Gauss曲率。亦即, $d^*$ 等价于连续情形下的标准度量:球面度量,平直度量或双曲度量。

  $\frac{du(t)}{dt} = -2K(t)$ 。离散曲率流的发展方程具有完全一致的形式, $\frac{du_i(t)}{dt} = -2K_i(t)$ ,并且在流的过程中多面体的三角剖分依随PL度量的变化而变化,使得三角剖分一直是Delaunay。我们称这一曲率流为带手术的离散曲面Yamabe流。我们定义如下的熵能量,

  存在性的证明依赖于两个台希米勒(Teichmuller)空间之间的微分同胚的建立和经典的映射引理(mapping lemma)。大致思路如下:

  (S,V)上所有的平直度量的离散共形等价类构成了一个Teichmuller空间 $T_{pl}$ ,(S,V)上所有的双曲度量的共形等价类构成另外一个Teichmuller空间 $T_d$ (顶点变成了尖点,并且被一horoball截除)。

  首先我们考虑如何建立Teichmuller空间的局部坐标,这一过程需要借助三角剖分。给定一个欧式或双曲度量,我们可以唯一确定一个Delaunay三角剖分。固定一个三角剖分T,所有以T为Delaunay的度量构成了Teichmuller空间中的一个胞腔(Cell),由此我们可以对Teichmuller空间进行胞腔分解, $T_{pl}=\cup_T D_{pl}(T),~T_d=\cup_T D_d(T)$ 。

  固定三角剖分T,在胞腔 $D_{pl}(T)$ 和 $$ $D_d(T)$ 内,度量d可以用T的边长来参数化,我们建立欧式边长和双曲边长间的对应,由此建立了欧式度量和双曲度量间的对应, $F_T:D_{pl}(T)\to D_d(T)$

  在此对应下,一个三角剖分在欧式度量下是Delaunay的,当且仅当这个三角剖分在双曲度量下是Delaunay的。由此,我们建立了胞腔之间的对应,以及胞腔内部的度量之间的对应。我们将 $F_T:D_{pl}(T)\to D_d(T)$ 粘和,得到全局的两个Teichmuller空间之间的微分同胚 $F:T_{pl}\to T_d$ 。

  我们考虑(S,V)上的所有PL度量的离散共形等价类组成的空间,我们称之为PL Teichmuller空间,

  下面,我们介绍令外一个Teichmuller空间。考虑S-V上的所有黎曼度量,满足如下条件

  这里 $(S-V,d)\sim(S_v,d)$ 意味着它们之间存在一个和恒同映射同伦的等距映射。

  一个三角剖分T将(S-V,d,w)分解成一族带装饰的双曲三角形(decorated triangle),如上图右帧所示。红色的双曲测地线弧长代表边长,蓝色的弧长代表角度。如下图所示,如果同一条边上的两个horocircle相离,则边长为正;horocircle相切,则边长为0;horocircle相交,则边长为负。任意给定三个实数 $\{l_1,l_2,l_3\}$ ,则存在唯一的被装饰的三角形,其边长恰为 $\{l_1,l_2,l_3\}$ 。Penner介绍了所谓 $\lambda$ -长度: $L_i = e^{l_i/2}$ 。

  这里 $(S-V,d,w)\sim(S-V,d,w)$ 如果它们之间存在一个和恒同映射同伦的等距映射。根据定义,我们知道

  离散曲面单值化定理实际上给出了实用的算法。只要目标曲率给定,我们就可以找到相应的黎曼度量。大量医学和工程中的应用可以归结为如何找到合适的黎曼度量问题,这一算法从根本上解决了这一问题。下面,我们给出单值化定理在各个领域中的最为直接应用:

  曲面注册:给定两个三维曲面,寻找它们之间的最优微分同胚。利用单值化定理,曲面可以被映到平面区域,微分同胚可以在平面区域间建立。

  表情分析和识别:将带有表情的三维人脸曲面共形映到平面区域,通过比较和分析共形因子和平均曲率函数,我们可以判断人的表情。共形因子包含和曲面的黎曼度量信息。

  共形脑图,大脑皮层曲面由核磁共振方法获取,将曲面沿着主要的沟回切开,共形映射到平面上。不同的大脑曲面可以相互比较,病变的区域能够被及时发现,并且可以用于制定手术计划,和手术导航。

  在工业制造领域经常需要由三维点云来构造曲面,然后经由三维打印得到产品原型。由此得到的离散曲面需要保证逼近精度。万博体育app我们将离散曲面共形映到典范区域,然后用Delaunay Refinement方法重新三角剖分,如此得到的离散曲面可以保证曲率测度的收敛。

  曲面参数化是图形学领域的一个基本问题,将三维曲面映到平面区域同时尽量减少畸变一直是人们追寻的目标。单值化定理的应用可以保证参数化的结果没有角度的畸变,进而可以复合最优传输映射,得到保持面元的映射。

  几乎所有和三维几何发生联系的领域,单值化定理和离散曲率流都会得以应用。我们相信,曲面单值化定理的根本重要性必会被科技人员所广泛认识和接受;我们期待,这一理论和她引发的技术在各个领域中的广泛传播。曲面单值化定理的高维推广必将掀开又一激动人心的乐章。

  在过去的十数年里,因为曲面单值化定理的根本重要性,世界各地的数学家和计算机科学家都在努力尝试建立这一理论离散的版本。中国数学家,德国数学家,法国数学家,以色列数学家等不同的团体展开了激烈的竞争。但是绝大多数的努力付诸东流。

  在过去的数年间,中国数学家的团队(罗锋,孙剑,顾险峰,郭韧,吴天祺等)为此殚精竭虑。开始的时候,我们一直试图在固定三角剖分下证明单值化定理,无论经过怎样的曲折迂回,一直无法回避在曲率流中三角形退化的本质难点。后来孙剑提议考虑动态三角剖分,万博体育app在曲率流中始终保持三角剖分为Delaunay。终于一切豁然开朗,证明也呼之欲出。我们认识到,曲面的离散化应该顺应其黎曼度量,Delaunay三角剖分由度量唯一决定,是最为自然的离散化方法。在曲率流中动态变化三角剖分以保持Delaunay,这一方法并非人为的权宜之计,而是盘活整个理论的关键。长期不懈的努力,加上深刻的洞察,使得中国数学家团队率先证明了离散单值化定理。

  依随三维技术的迅猛发展,作为时代的生长点,离散几何领域必将日益壮大,未来的竞争会愈发激烈。我们由衷期待更多的年轻学子加入进来,为推动这一数学和计算机科学的交叉领域做出贡献!